Cos’è il paradosso del Grand Hotel di Hilbert? (Hotel Infinito)

Negli anni ’20 del secolo scorso, sorse un intrigante esperimento nell’ambito della matematica, ad opera del noto studioso tedesco David Hilbert. Tale esperimento ebbe l’intento di gettare luce sulla complessità intrinseca del concetto di infinito, un concetto che sfugge spesso alla completa comprensione umana. L’immagine da lui dipinta fu quella di un hotel dall’aspetto inconsueto: l’Hotel Infinito. All’interno di questa struttura immaginaria, si trovavano un numero infinito di stanze, e le sfide che l’hotel presentava erano elaborate e ingenue allo stesso tempo. Ma cos’è esattamente il paradosso del Grand Hotel di Hilbert?

In sostanza Hilbert ci invitava a riflettere su quanto fosse arduo arrivare a capire pienamente le implicazioni di un concetto che trascende il limitato ambito della mente umana.

Come funziona l’Hotel Infinito?

All’Hotel Infinito, la notte in cui Hilbert ci introduce, tutte le stanze sono occupate, in effetti prenotate al completo da un numero infinito di ospiti. Tuttavia, il punto focale dell’esperimento sorge quando un nuovo ospite si presenta chiedendo una stanza. Invece di rifiutare l’ospite per mancanza di stanze, il direttore dell’hotel, con ingegno e un pizzico di follia, decide di adottare una tattica insolita. Chiede gentilmente all’ospite della stanza numero 1 di spostarsi nella stanza numero 2, all’ospite della stanza numero 2 di spostarsi nella stanza numero 3, e così via, in una sorta di danza di stanze. Tale danza matematica, in cui ogni ospite si sposta dalla stanza “n” alla stanza “n+1”, apre la strada a nuove stanze per i nuovi arrivati.

L’hotel sembra essere in grado di accogliere qualsiasi numero finito di nuovi ospiti senza problemi, come dimostrato quando un gruppo di 40 persone giunge a bordo di un autobus turistico. In questa situazione, i presenti si spostano semplicemente dalla stanza “n” alla stanza “n+40”, liberando così le prime 40 stanze. Tuttavia, l’esperimento prende una piega interessante quando un bus teorico, infinitamente grande e con un numero di passeggeri infiniti e numerabili, si ferma all’hotel in cerca di stanze. Questo è il cuore del dilemma: come può l’hotel trovare spazio per un numero infinito di nuovi ospiti?

Euclide

Il direttore, dapprima perplesso da questa sfida, scopre una soluzione elegante. Richiamando una dimostrazione di Euclide risalente al 300 a.C., che stabiliva l’esistenza infinita dei numeri primi, il direttore trova un metodo per allocare stanze a questi nuovi ospiti apparentemente inarrestabili. La soluzione coinvolge l’uso delle potenze dei numeri primi. Ogni ospite attuale viene assegnato al primo numero primo, elevato alla potenza del numero della sua stanza attuale. Ad esempio, l’ospite della stanza numero 7 viene spostato nella stanza numero 2^7, che equivale alla stanza numero 128.

Questo procedimento viene applicato a ciascun autobus infinitamente grande con passeggeri infiniti numerabili. Ogni bus viene associato a un diverso numero primo e i passeggeri vengono collocati nelle stanze attraverso il sistema di potenze del numero primo corrispondente, basato sulla posizione del passeggero sul bus. Questa procedura si ripete con i numeri primi successivi, garantendo che ogni ospite trovi una sistemazione unica e non sovrapponibile.

Le stanze vuote

Tuttavia, rimangono stanze vuote, come quelle corrispondenti a numeri che non sono potenze di numeri primi. Questo tocca un punto interessante e, in un certo senso, umoristico dell’esperimento: il direttore notturno è costretto a gestire l’impossibilità matematica di coprire ogni possibile combinazione di numeri. La sua situazione inverosimile, nel mondo matematico, gli offre la salvezza, dal momento che i suoi superiori non sono particolarmente abili nella disciplina matematica, consentendogli di mantenere il suo lavoro.

È importante sottolineare che le strategie ingenue e apparentemente bizzarre del direttore notturno hanno successo solo perché l’Hotel Infinito di Hilbert affronta l’idea di un infinito specifico e limitato, ovvero l’infinito numerabile dei numeri naturali, rappresentati da 1, 2, 3, 4 e così via. Questo tipo di infinito è chiamato “aleph-zero” da Georg Cantor. Le numerazioni delle stanze e dei sedili dei bus si basano su questi numeri naturali.

Numeri reali e numeri naturali

Tuttavia, è fondamentale sottolineare che l’Hotel Infinito affronta solo il livello iniziale dell’infinito. Se dovessimo affrontare livelli superiori di infinito, come quello dei numeri reali, le strategie che il direttore notturno impiega non sarebbero più valide. La complessità dell’infinito oltre il numerabile diventa un labirinto matematico che sfida la nostra comprensione.

Immaginiamo un Hotel dei Numeri Reali Infiniti, dove si affrontano sfide di un altro calibro. In questo hotel ipotetico, le stanze potrebbero essere numerate negativamente, o potrebbero ospitare numeri frazionari, radicali, o persino numeri irrazionali come π (pi greco). Le sfide che emergerebbero da queste circostanze rendono ancora più evidente quanto sia difficile, per le nostre menti finite, abbracciare un concetto tanto vasto e complesso come l’infinito.

Conclusioni

In conclusione, l’esperimento dell’Hotel Infinito di Hilbert offre un intrigante spunto di riflessione sulla natura sfuggente e complessa del concetto di infinito. Attraverso una narrazione intricata e talvolta ironica, il direttore d’albergo si trova ad affrontare una serie di sfide matematiche innovative e insolite. Queste sfide servono come metafora dell’intricata relazione tra il mondo matematico e la mente umana.